제어 장벽 함수

목표 도달과 영역 유지

제어 리아푸노프 함수가 목표로의 수렴을 위한 감소 조건을 만드는 데 비해, 제어 장벽 함수는 허용 집합에 머무르는 조건을 만든다. h가 양수인 내부에서 반드시 계속 증가할 필요는 없다. 대표적인 조건 ḣ≥−α(h)는 내부에서 어느 정도의 감소를 허용하면서 h=0인 경계에서는 바깥쪽으로 나가지 않는 방향을 요구한다.

한 구간 안에 머무르는 예제

상태식 ẋ=u와 허용 구간 −1≤x≤1을 생각하자. h=1−x², α(h)=h로 두면 −2xu+1−x²≥0이 입력 조건이다. x=0.9에서는 −1.8u+0.19≥0이므로 u≤약 0.1056이다. 경계 쪽으로 빠르게 밀어내는 u=1은 허용되지 않지만 u=0.1은 조건을 만족한다. x=1에서는 u≤0이 되어 안쪽 또는 접선 방향을 요구한다.

최적화로 입력 조정

제어 아핀 시스템에서 h를 한 번 미분해 입력이 나타나는 경우 이 조건은 입력에 대한 아핀 부등식이 된다. 원래 원하는 입력에서 최소한만 변경하는 이차계획 문제에 넣을 수 있다. 목표 추종 조건과 충돌하면 일부 설계에서는 추종 조건을 완화하고 장벽 조건을 유지한다. 다만 구동 한계와 여러 제약이 함께 만족 가능한지도 확인해야 한다.

보장의 전제

집합의 전방 불변성은 정확한 동역학, 적절한 함수의 매끄러움, 실행 가능한 입력과 해의 존재 같은 가정 아래에서 성립한다. 한 시각에서 부등식을 만족했다고 샘플 사이의 실제 운동까지 자동 보장되는 것은 아니다. 모델 오차나 지연이 있거나 입력이 더 높은 차수의 미분에만 나타나는 경우에는 그 상황에 맞는 추가 설계가 필요하다.