소수 계수 함수

작은 범위에서 세기

20 이하의 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19의 여덟 개이므로 π(20)=8이다. 1은 소수가 아니며 2보다 작은 범위에는 소수가 없다. 함수 입력이 소수일 필요는 없고 정수 사이의 실수 값에서도 같은 방식으로 정의한다.

계단 모양과 경계

π(16)=6이고 16과 17 사이에서는 새 소수가 없으므로 값이 변하지 않는다. 17에서는 그 소수 자체를 포함해 π(17)=7이 된다. 따라서 ≤ 조건을 사용한 정의에서는 소수 지점의 증가분을 이미 포함한다. 정수 n≥2에서 π(n)−π(n−1)은 n이 소수면 1, 아니면 0이다.

소수의 순번과 관계

k번째 소수를 pₖ라고 하면 π(pₖ)=k다. 그러나 π가 계단 함수이므로 일반적인 일대일 함수처럼 역함수를 바로 정의할 수는 없다. 예를 들어 π(17), π(18)은 모두 7이지만 17과 18은 다른 입력이다. 순번으로 소수를 찾는 일과 범위 안의 소수를 세는 일을 구별해야 한다.

가중 합과 근사식의 차이

체비쇼프 함수는 소수에 로그 가중치를 주어 더하지만 π(x)는 각 소수를 1개씩 센다. 소수의 분포에 대한 근사식도 정확한 개수 자체와 다르다. 작은 범위의 계산에서는 소수를 직접 열거하거나 체를 사용할 수 있고, 매우 큰 범위의 개수 계산에는 전용 알고리즘들이 사용된다.