조건에 맞는 대상이 없을 때
자연수 중 0보다 작은 수를 모으라는 조건을 생각해 보자. 자연수의 정의에서 0을 포함하는지와 무관하게 이 조건을 만족하는 원소는 없다. 결과를 집합으로 나타내면 공집합이다. 조건을 쓸 수 있다는 것과 그 조건을 만족하는 대상이 있다는 것은 다르다.
0과 공집합은 다르다
{0}은 숫자 0을 원소로 가지므로 원소가 하나다. {∅} 역시 공집합이라는 대상을 원소로 가진 집합이어서 원소가 하나다. 둘 다 원소가 없는 ∅와 다르다. 중괄호가 무엇을 원소로 감싸고 있는지 살피면 혼동을 줄일 수 있다.
모든 집합에 포함되는 이유
A가 B의 부분집합이려면 A의 원소 중 B에 없는 것이 없어야 한다. 공집합에는 애초에 원소가 없으므로 이 조건을 어기는 원소도 없다. 따라서 어떤 집합 B를 택해도 ∅는 B의 부분집합이다. B 자체가 공집합인 경우도 포함된다.
연산에서의 역할
A와 공집합의 합집합은 A다. 추가할 원소가 없기 때문이다. 반면 A와 공집합의 교집합은 공집합이다. 공통으로 들어 있는 원소가 있을 수 없기 때문이다. 원소가 없는 결과도 집합으로 표현하면 연산 규칙을 일관되게 적용할 수 있다.