늘림과 방향의 분리
실수 정사각 행렬에서 A=UP, UᵀU=I, P가 대칭 양의 준정부호인 형태를 생각하자. 열벡터 x에 작용하면 먼저 P가 작용하고 이어 U가 작용한다. U는 길이를 보존하지만 P는 방향에 따라 다른 크기로 늘리거나 일부 방향을 0으로 만들 수 있다. 따라서 A 전체가 길이를 보존한다는 뜻은 아니다.
두 인자의 계산 예제
U의 두 행을 (0,-1),(1,0), P를 대각 원소가 2,3인 행렬로 두자. 곱 A=UP의 두 행은 (0,-3),(2,0)이다. x=(1,1)을 P로 옮기면 (2,3), U까지 적용하면 (-3,2)가 된다. 이 예제의 AᵀA는 대각 원소 4,9인 행렬이며 P²와 같다. 양의 인자가 입력 방향별 크기 변화를 담고 있음을 볼 수 있다.
왼쪽 형태와 순서
A=QU처럼 양의 인자를 왼쪽에 놓는 형태도 있다. 앞 예제에서 Q의 대각 원소를 3,2로 두면 QU=A가 된다. 같은 U를 쓰더라도 P와 Q는 같지 않을 수 있으며 행렬의 곱 순서를 임의로 바꿀 수 없다. 일반적으로 오른쪽 인자는 입력 공간의 방향, 왼쪽 인자는 출력 공간의 방향과 관련해 해석한다.
특이 행렬과 다른 분해
가역인 정사각 행렬에서는 양의 인자가 양의 정부호가 되고 직교 인자도 유일하게 정해진다. 특이한 경우에는 직교 인자의 선택에 자유가 남을 수 있다. 직사각 행렬에서는 행과 열의 직교 조건을 구분해야 한다. 극분해를 QR 분해처럼 삼각 행렬을 얻는 과정과 혼동하지 말고, 재구성 오차와 직교성도 함께 확인한다.
관련 문서
직교 행렬 / 유니터리 행렬 / 양의 정부호 행렬 / 행렬 곱셈 / 특이값 분해 / QR 분해 / 직교 프로크루스테스 문제