위치가 값을 구분한다
두 행과 세 열로 된 행렬에는 여섯 개의 성분이 놓인다. 각 성분은 몇 번째 행과 열인지로 구별한다. 같은 수들을 사용해도 위치를 바꾸면 일반적으로 다른 행렬이다.
표처럼 보인다는 이유만으로 모든 표 계산이 행렬 연산이 되는 것은 아니다. 행렬의 크기와 정해진 연산 규칙이 어떤 수학적 의미를 갖는지 함께 살펴야 한다.
덧셈과 곱셈의 규칙
크기가 같은 행렬끼리는 같은 위치의 성분을 더한다. 한 수를 곱하는 스칼라배는 모든 성분에 그 수를 적용한다.
행렬 곱 AB가 정의되려면 A의 열 수와 B의 행 수가 맞아야 한다. 결과의 각 성분은 A의 한 행과 B의 한 열에서 대응하는 성분들을 곱한 뒤 더하여 구한다. 일반적으로 각 위치의 성분끼리만 곱하는 연산과는 다르다.
순서를 바꾸면 달라지는 이유
행렬이 선형 변환을 나타낸다면 곱은 변환을 이어 적용하는 것을 표현한다. 먼저 늘인 뒤 회전하는 경우와 먼저 회전한 뒤 늘이는 경우가 같은 결과를 내지 않을 수 있다. 이 때문에 AB와 BA는 일반적으로 같지 않으며, 둘 중 하나만 정의될 수도 있다.
되돌리는 변환
곱했을 때 단위행렬이 되는 짝을 역행렬이라고 한다. 모든 정사각행렬이 역행렬을 갖지는 않는다. 실수나 복소수의 정사각행렬에서는 행렬식이 0이 아닌 것이 역행렬 존재의 조건이다.
수치 계산에서는 역행렬을 직접 만드는 것보다 방정식을 푸는 다른 방법이 적절할 수 있다. 수학적으로 해가 존재하는지와 컴퓨터에서 오차 없이 안정적으로 계산되는지는 구분해야 한다.