가까워진다는 말의 조건
수열의 항들이 어떤 값으로 수렴한다면, 아무리 작은 양의 오차를 정해도 충분히 뒤의 모든 항이 그 범위 안에 들어가야 한다. 몇 개의 항만 가까운 것은 이 조건과 다르다.
예를 들어 3/n은 항 번호가 커질수록 0에 가까워진다. 실제 항이 0과 정확히 같아질 필요 없이 원하는 만큼 차이를 작게 할 수 있다는 것이 핵심이다.
함수값과 극한값
함수의 극한은 입력이 어떤 점에 가까워질 때 주변의 출력이 어떻게 되는지를 다룬다. 해당 점에서 함수를 정의하지 않았더라도 주변의 극한은 존재할 수 있다.
입력 1 이외에서 (x²−1)/(x−1)을 계산하면 x+1과 같다. 따라서 x가 1에 가까워질 때의 극한은 2지만, 원래 분수식은 x=1에서 정의되지 않는다.
존재하지 않는 경우
실함수에서 좌우 접근에 따른 극한이 다르면 그 점에서 하나의 양쪽 극한을 정할 수 없다. 값이 여러 수준 사이에서 계속 진동하는 경우에도 수렴하지 않을 수 있다.
값이 한없이 커지는 것과 유한한 값으로 수렴하는 것도 구분한다. 무한대로의 발산을 표현하는 표기가 있더라도 무한대를 보통의 실수와 동일하게 계산해서는 안 된다.
계산 규칙의 전제
극한의 합과 곱 등에 관한 규칙은 관련 극한의 존재 같은 조건 아래에서 적용한다. 분모의 극한이 0인 비율은 단순한 대입으로 처리할 수 없는 경우가 있다.
0/0 같은 부정형 표시는 결과가 하나로 정해지지 않았다는 뜻이다. 주변 함수의 성질을 추가로 조사해야 하며, 모양만 보고 극한값이 0이라고 결론 내릴 수 없다.