확률이 가중치가 된다
변수 X가 0과 10을 각각 확률 0.8과 0.2로 갖는다면 기댓값은 2다. 2가 실제로 가능한 값 목록에 없어도 가중 평균으로서 의미가 있다.
기댓값은 확률과 값을 함께 반영한다. 가능한 값이 크더라도 확률이 매우 작으면 전체 평균에 주는 기여는 작을 수 있다.
한 번의 결과와 반복의 평균
기댓값은 한 번 실행했을 때 그 값이 반드시 나온다는 예측이 아니다. 적절한 독립성과 분포 및 적분 가능성 조건에서는 반복 시행의 평균과 연결되는 정리들이 성립한다.
유한한 횟수의 표본 평균은 여전히 변동한다. 기댓값을 알고 있다는 사실만으로 모든 반복 묶음의 평균이 정확히 일치한다고 말할 수는 없다.
선형성과 독립성
관련 기댓값이 적절히 존재하면 합의 기댓값은 각 기댓값의 합이 된다. 이 선형성 자체에 두 변수의 독립성이 반드시 필요한 것은 아니다.
반면 곱의 기댓값을 각각의 기댓값의 곱으로 나누는 관계에는 추가 조건이 필요하다. 합과 곱의 규칙을 같은 것으로 혼동해서는 안 된다.
평균 하나로 보이지 않는 것
기댓값이 같아도 분포의 퍼짐이나 꼬리 부분은 다를 수 있다. 결과의 변동을 설명하려면 분산이나 분위수 등 다른 정보도 함께 살펴야 한다.
아주 큰 값이 드물게 나오는 분포에서는 평균에 관한 존재 조건이 중요하다. 단순히 모든 확률 변수에는 언제나 유한한 기댓값이 있다고 가정할 수 없다.