편차를 그냥 더하면 사라지는 차이
각 값에서 산술평균을 뺀 편차를 더하면 0이 된다. 양쪽 방향의 차이가 상쇄되므로 그 합만으로 퍼짐을 측정할 수 없다. 분산은 편차를 제곱하여 이 문제를 피한다.
1, 3, 5의 평균은 3이고 편차 제곱의 합은 4+0+4=8이다. 이 세 값을 전체 자료로 기술하는 분산은 8/3이다.
n과 n−1의 차이
관측 자료 자체의 제곱 편차 평균을 구할 때는 개수 n으로 나눈다. 반면 독립적인 표본으로 모집단 분산을 불편 추정하는 통상적인 표본분산은 표본평균을 사용한 제곱 편차 합을 n−1로 나눈다.
이 차이는 단순한 표기 실수가 아니라 추정 목적과 가정에 따른 것이다. 계산 도구를 사용할 때도 어떤 정의와 자유도를 적용했는지 확인해야 한다.
값을 옮기거나 배율을 바꾸기
모든 관측값에 같은 상수를 더하면 평균은 이동하지만 분산은 변하지 않는다. 각 값과 평균의 차이가 그대로이기 때문이다.
모든 값을 k배 하면 분산은 k²배가 된다. 단위를 바꾼 자료의 분산 숫자를 직접 비교하기 어려운 이유이며, 원래 단위로 돌아온 표준편차를 함께 사용하는 배경이다.
분산이 알려 주지 않는 것
분산이 같아도 분포의 모양이나 극단값의 위치는 다를 수 있다. 제곱을 사용하므로 큰 편차의 영향이 커지고, 일부 이상치가 값에 큰 영향을 줄 수 있다.
두 확률변수를 더한 분산이 각각의 분산의 합이 되려면 공분산 항을 고려해야 한다. 독립인 경우처럼 공분산이 0이면 더할 수 있지만 일반적인 상황에서는 자동으로 성립하지 않는다.