로그와 덧셈이 함께 있는 방정식
양의 실수 w에 대해 g(w)=w+ln w라고 하자. 도함수는 1+1/w로 항상 양수다. 또한 w가 0에 가까워지면 g는 음의 무한대로, w가 커지면 양의 무한대로 간다. 따라서 임의의 실수 z에 대해 g(w)=z를 만족하는 양의 w가 정확히 하나 존재한다. 이 해를 ω(z)라고 쓴다.
정확하게 확인할 수 있는 값
w=1이면 w+ln w=1이므로 ω(1)=1이다. 같은 방식으로 ω(2+ln 2)=2이고 ω(1/2−ln 2)=1/2이다. 입력에 로그가 포함되어 있다고 해서 출력에도 로그가 그대로 남는 것은 아니다. 방정식에 후보 해를 직접 넣는 검산은 수치 계산의 입력과 출력을 구별하는 데 도움이 된다.
람베르트 W 함수와의 관계
실수 방정식 w+ln w=z의 양변을 지수화하면 we^w=e^z가 된다. 따라서 실수 입력에서는 ω(z)=W₀(e^z)로 나타낼 수 있다. 다만 컴퓨터에서 e^z를 먼저 만들면 큰 z에서 중간값이 표현 범위를 넘을 수 있다. 수학적으로 같은 식이라도 중간 계산을 어떻게 구성하는지에 따라 수치적 안정성은 달라질 수 있다.
변화율과 복소수 입력
실수에서 관계식을 미분하면 ω′=ω/(1+ω)를 얻는다. 값이 양수이므로 도함수는 0과 1 사이이며 함수는 증가한다. 한 번 더 미분하면 ω″=ω/(1+ω)³으로 양수다. 복소수에서는 로그의 가지와 람베르트 W의 가지 선택이 중요해진다. 실수에서 쓰던 W₀(e^z)를 모든 복소수 입력에 그대로 적용하는 것은 올바른 일반 규칙이 아니다.