버 제12형 분포

생존함수에서 정의한다

이동이 없고 척도가 1일 때 x≥0의 생존함수는 S(x)=(1+x^c)^(−d)다. 이를 미분해 부호를 바꾸면 밀도 cd x^(c−1)/(1+x^c)^(d+1)를 얻는다. c와 d는 서로 다른 자리에 들어가므로 값을 맞바꾼다고 같은 분포가 되는 것은 아니다. 양의 척도 s를 추가하면 기본식의 x를 x/s로 바꿔 해석한다.

확률의 작은 예

c=2,d=3이면 S(1)=1/8이고 S(2)=1/125다. 따라서 1보다 크고 2 이하일 확률은 1/8−1/125=117/1000, 즉 0.117이다. 두 값은 확률밀도가 아니라 해당 기준을 넘을 확률이다. 밀도 한 점의 높이를 빼는 방식으로 구간 확률을 구할 수는 없다.

같은 꼬리 지수도 다른 모양

x가 클 때 1+x^c는 x^c에 가까워지므로 생존함수는 x^(−cd)와 같은 차수로 감소한다. c=2,d=3과 c=3,d=2는 모두 곱이 6이지만 S(1)은 각각 1/8과 1/4다. 꼬리의 거듭제곱 지수가 같다는 이유만으로 전체 분포가 같지는 않다. 작은 값과 중간 범위의 모양도 함께 비교해야 한다.

특수형과 명칭 확인

d=1이면 생존함수가 1/(1+x^c)가 되어 기본 로그로지스틱 분포와 연결된다. 버 분포라는 이름에는 제3형 등 다른 유형도 있어 제12형과 사용 수식을 명확히 해야 한다. 자료가 양수이고 꼬리가 길어 보인다는 사실만으로 이 모형이 확정되지는 않는다. 관측 범위와 이동·척도 모수, 큰 값의 자료가 충분한지를 확인하며 적합을 해석한다.