출발점이 필요하다
P(1)을 확인하고 모든 n≥1에서 P(n)⇒P(n+1)을 증명하면 모든 양의 정수 n에서 P(n)이 참이다. 다음 단계로 넘어가는 관계만 있고 출발점이 없으면 결론을 얻을 수 없다.
합 공식의 예
1+…+n=n(n+1)/2를 생각하자. n=1에서 성립한다. n=k에서 맞다고 가정하면 다음 합은 k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)(k+2)/2여서 n=k+1에서도 성립한다.
가정의 역할
귀납 단계에서 P(k)를 가정하는 것은 증명하려는 모든 경우를 이미 참이라고 전제하는 일이 아니다. 하나의 단계가 참이면 다음 단계도 참이라는 함의를 증명하고 시작 단계와 연결하는 것이다.
관찰과 증명
처음 열 개의 자연수에서 맞는지 계산한 사실만으로 모든 자연수에서 참이라고 결론 내릴 수는 없다. 수학적 귀납법은 관찰한 패턴을 일반화하는 추측과 달리 단계 사이의 논리적 연결을 증명해야 한다.