계산식 앞에 정하는 입력 범위
f(x)=x²이라는 식을 정수에만 적용할 수도 있고 모든 실수에 적용할 수도 있다. 두 경우 계산 규칙은 같지만 입력으로 허용한 대상은 다르다. 함수는 식만이 아니라 어떤 입력 집합에서 어떤 출력 집합으로 가는지도 포함해 정의한다.
계산이 가능한 범위
실수값 함수 f(x)=1/x에서 0을 입력하면 나눗셈이 정의되지 않는다. 따라서 이 식으로 함수를 만들 때 정의역에서 0을 제외해야 한다. 다만 계산 가능한 모든 실수를 반드시 정의역에 포함해야 하는 것은 아니다. 양의 실수만을 입력으로 정할 수도 있다.
입력 하나에 출력 하나
정의역에 원소를 넣었다면 그 원소에 대해 함수값이 하나 정해져 있어야 한다. 어떤 입력에서 출력이 없거나 둘 이상의 출력 중 하나로 정해지지 않으면 그 정의역 위의 함수로 볼 수 없다. 서로 다른 입력이 같은 출력을 갖는 것은 가능하다.
역함수와의 관계
x²을 실수 전체에 정의하면 2와 −2가 모두 4로 가므로 출력 4만 보고 원래 입력을 하나로 정할 수 없다. 정의역을 0 이상인 실수로 제한하면 이 모호함을 없앨 수 있다. 역함수를 다룰 때 정의역을 명시하는 이유다.