제1종 대칭 타원적분

세 인수가 들어가는 적분

양의 실수 x,y,z에 대해 R_F(x,y,z)=(1/2)∫₀^∞[(t+x)(t+y)(t+z)]⁻¹ᐟ²dt다. 분모의 곱이 인수 순서에 영향을 받지 않으므로 R_F(1,2,3)과 R_F(3,1,2)는 같다. 적분 변수 t는 0부터 무한대까지 움직이고 x,y,z는 고정된 모수다. 세 입력을 적분 구간의 끝점으로 해석하지 않는다.

같은 인수와 척도 변화

세 인수가 a이면 적분은 (1/2)∫₀^∞(t+a)⁻³ᐟ²dt=1/√a다. 따라서 R_F(4,4,4)=1/2이고 R_F(9,9,9)=1/3이다. 양의 λ에 대해 변수 t=λs로 바꾸면 R_F(λx,λy,λz)=λ⁻¹ᐟ²R_F(x,y,z)를 얻는다. 입력을 네 배로 늘렸을 때 결과는 네 배가 아니라 절반이 된다.

인수가 0인 경계

한 인수만 0이고 나머지가 양수이면 원점 부근의 피적분함수는 상수와 t⁻¹ᐟ²의 곱처럼 되어 적분이 가능하다. 두 인수가 0이면 t⁻¹과 같은 거동이 생겨 원점에서 발산한다. 무한대 쪽에서는 양의 인수에 대해 t⁻³ᐟ²로 감소한다. 적분 구간이 무한하다는 사실만으로 발산한다고 판단하지 않고 양쪽 경계를 따로 살펴야 한다.

완전 타원적분과의 연결

0≤m<1에서 제1종 완전 타원적분은 K(m)=R_F(0,1−m,1)로 나타낼 수 있다. 예를 들어 m=0이면 K(0)=R_F(0,1,1)=π/2다. m이 1에 가까워지면 두 번째 인수도 0에 가까워져 발산하는 경계와 연결된다. 여기서 m은 모듈러스 k의 제곱인 모수다. 복소수 인수로 확장할 때는 제곱근의 가지와 절단 영역을 함께 확인한다.