곱을 이용하는 평균
2와 8의 기하 평균은 √16=4다. 같은 두 수의 산술 평균은 5이므로 평균이라는 이름이 같아도 결과가 다르다. 어떤 연산 관계를 요약하려는지에 따라 적절한 평균을 선택해야 한다.
같은 곱을 만드는 값
양수 두 개 a와 b의 기하 평균을 g라 하면 g×g=a×b다. 원래 두 수의 곱을 같은 두 값의 곱으로 나타내는 관점이다. 여러 양수에서도 모든 인수를 같은 값으로 바꾸면서 전체 곱을 유지한다는 식으로 이해할 수 있다.
배수의 연속된 변화
어떤 양에 2배와 8배의 변화가 차례로 적용되면 전체 배수는 16이다. 같은 배수를 두 번 적용해 같은 결과를 만들려면 한 번의 배수는 4다. 이런 곱셈적 누적은 배수들을 단순히 더해 나누는 것과 다르다.
정의 범위와 산술 평균
기본적인 실수 기하 평균은 양수 자료에서 다룬다. 음수를 섞으면 제곱근과 일반화의 조건을 따로 살펴야 한다. 양수들의 기하 평균은 산술 평균보다 크지 않으며 모든 값이 같을 때 두 평균이 같다.