양자적인 진동 에너지
원자가 N개인 3차원 고체를 3N개의 독립적인 진동 모드로 근사하고 그 진동수를 모두 ω_E로 놓는다. 에너지 간격 ℏω_E가 열에너지 k_BT와 비슷하거나 더 크면 고전적인 에너지 등분배를 그대로 적용할 수 없다.
열용량 식
x=Θ_E/T라고 하면 C_V=3Nk_B x²eˣ/(eˣ−1)²이다. 이는 원자 N개 전체의 열용량이며 원자 1몰 기준으로 쓰면 3Nk_B 대신 3R을 쓴다. 단위 질량당 비열과 몰 열용량, 전체 열용량을 혼동하지 않아야 한다.
온도에 따른 극한
T가 Θ_E보다 충분히 높으면 C_V는 3Nk_B에 접근한다. 반대로 매우 낮으면 C_V≈3Nk_B(Θ_E/T)²exp(−Θ_E/T)로 줄어든다. 따라서 모든 온도에서 열용량을 일정한 고전값으로 두던 근사보다 저온 감소를 잘 설명한다.
저온에서의 한계
실제 3차원 결정의 저온 격자 열용량에는 긴 파장의 낮은 진동수 모드가 중요하다. 단일 진동수 모형은 이 분포를 놓쳐 지수적인 감소를 예측한다. 낮은 진동수의 집단 운동을 포함해 T³ 거동을 얻는 것이 드바이 모형의 개선점이다.