제어 리아푸노프 함수

함수가 내려가도록 입력 고르기

원점에서 V=0이고 그 밖에서 V>0인 미분 가능한 함수를 생각하자. 상태식 ẋ=f(x,u)에 대해 원점 밖의 각 상태에서 V̇=∇V·f(x,u)<0이 되게 하는 입력이 존재하는지가 핵심이다. 모든 입력이 값을 줄여야 한다는 조건은 아니다. 제어 입력을 선택할 여지가 있다는 점이 고정된 폐루프 시스템의 함수 검사와 다르다.

불안정 항을 제어하는 예제

한 변수 시스템 ẋ=x+u에서 V=x²/2로 두면 V̇=x(x+u)다. 입력 제한이 없을 때 u=−2x를 선택하면 V̇=−x²이 된다. 따라서 원래의 ẋ=x가 원점에서 멀어지는 성질을 갖더라도 입력으로 V를 감소시키는 운동을 만들 수 있다. 다만 V를 감소시키는 입력이 하나로만 정해지는 것은 아니다.

입력 제한이 바꾸는 범위

같은 시스템에 |u|≤1을 적용하자. x=2에서는 가장 작은 입력 u=−1을 써도 V̇=2이므로 이 후보 함수를 감소시킬 수 없다. 반면 0<x<1에서는 u=−1로 x(x−1)<0을 얻고 음의 구간에서도 대칭적인 입력을 쓸 수 있다. 무제한 입력에서 얻은 전역적인 주장을 제한된 구동기에 그대로 적용할 수 없다는 예제다.

안정화 주장에 필요한 조건

각 점에서 감소 입력이 존재한다는 계산만으로 실제 구현의 모든 성질이 끝나지는 않는다. 일관된 피드백 선택과 해의 존재, 원점 주변의 성질, 분석 영역에 머무르는 조건 등을 확인해야 한다. 전역 결과에는 함수의 무한대에서의 거동 같은 추가 조건이 쓰인다. 샘플링·잡음·출력 포화가 있는 실제 제어기에서는 연속 시간의 이상적 감소 조건도 별도로 검토한다.