평균도 확률 변수다
같은 방법으로 표본을 반복해서 뽑아 평균을 계산하면 평균값도 표본마다 달라진다. 중심 극한 정리는 이런 평균이나 합의 확률 분포를 다룬다.
관측값의 분포와 표본 평균의 분포는 구별해야 한다. 원자료가 두 값만 갖는 경우에도 여러 관측의 평균은 더 많은 값을 가질 수 있다.
기본적인 정리의 조건
대표적인 형태에서는 확률 변수들이 서로 독립이고 같은 분포를 따르며 유한한 평균과 양의 유한한 분산을 갖는다고 가정한다. 평균에서 모평균을 빼고 표준오차로 나눈 변수의 분포가 표준 정규 분포로 수렴한다.
표본 평균의 퍼짐은 이 조건 아래에서 표준편차를 표본 수의 제곱근으로 나눈 척도와 연결된다. 평균의 중심이 정해지는 일과 표준화한 모양이 정규 분포에 가까워지는 일은 다른 설명이다.
얼마나 큰 표본이 필요한가
유한한 표본에서 근사가 얼마나 좋은지는 원래 분포의 모양과 꼬리, 추정하려는 확률 범위 등에 영향을 받는다. 모든 문제에 통하는 표본 수 하나를 기준으로 정확한 근사를 보장할 수는 없다.
매우 드문 사건의 확률을 구할 때에는 중심 부근의 근사가 좋아 보이는 것만으로 충분하지 않을 수 있다. 근사 오차와 실제 필요한 범위를 함께 살펴야 한다.
정리가 보장하지 않는 것
변수 사이에 강한 의존성이 있거나 분산이 유한하지 않은 경우에는 기본 형태의 정리를 그대로 적용할 수 없다. 다른 조건을 다루는 확장 정리들이 있지만 각각의 가정이 필요하다.
표본의 선택 편향이나 측정 오류는 표본 수를 늘린다는 사실만으로 사라지지 않는다. 중심 극한 정리는 특정한 확률적 조건의 결과이며 자료 수집 설계를 대신하지 않는다.