일정한 차이가 아니라 일정한 비
aˣ에서 x가 1 늘면 값은 a배가 된다. 반면 선형 함수는 같은 간격마다 일정한 차이만큼 변한다. 초기 구간의 숫자가 비슷해 보여도 장기적인 양상은 다를 수 있다.
밑이 1보다 크면 증가하고 0과 1 사이이면 감소한다. 지수 함수라는 이름이 항상 빠른 증가만을 뜻하는 것은 아니다.
지수와 계수의 차이
2ˣ는 x가 지수에 있지만 x²는 x가 밑에 있는 거듭제곱 함수다. 둘은 서로 다른 함수이므로 증가율과 미분 관계를 그대로 바꿔 사용할 수 없다.
실수 전체의 지수 함수를 다룰 때 밑을 양수로 두는 조건도 중요하다. 음수 밑을 아무 실수 지수에 적용하면 같은 실수 함수로 정의하기 어렵다.
자연스러운 변화율
eˣ는 자신의 미분값과 같다는 특징을 갖는다. 현재 양에 비례하는 연속적인 변화율을 모형화할 때 지수 함수가 나타나는 이유다.
이 관계는 일정한 조건의 모형에서 나온다. 실제 생장과 확산은 자원과 환경, 상호작용의 제한을 받으므로 지수적 변화를 영원히 유지한다고 예측해서는 안 된다.
역관계와 해석
양수인 결과에서 원래 지수를 찾는 연산은 로그와 연결된다. 어떤 양이 몇 배가 되었는지와 그 배율에 도달한 시간을 다루는 데 사용한다.
그래프를 로그 척도로 바꾸면 지수적 관계가 직선처럼 보일 수 있다. 눈에 직선으로 보이는 이유가 원래 변화가 선형이기 때문인지 축의 변환 때문인지 구분해야 한다.