두 거리의 비율을 모으기
각 점에서 자기 자신을 제외한 가장 가까운 두 점의 거리를 r₁과 r₂로 구한다. r₁>0이면 비율 μ=r₂/r₁은 1 이상이다. 모든 거리에 같은 양의 배율을 곱해도 이 비율은 바뀌지 않는다. 중복점으로 r₁=0이면 이 계산을 그대로 적용할 수 없다.
차원과 누적분포의 관계
대표 국소 모형에서 비율의 누적분포는 F(μ)=1−μ⁻ᵈ다. 따라서 로그 좌표 lnμ와 −ln(1−F(μ)) 사이의 기울기로 d를 추정할 수 있다. 여기서 F는 여러 점에서 얻은 비율의 분포이며 한 점의 비율 하나에 임의의 확률을 붙이는 것은 아니다.
모형을 비교하는 숫자 예제
μ=2에서 d=1 모형의 누적확률은 1−1/2=0.5이고 d=2 모형은 1−1/4=0.75다. 이론적으로 같은 비율 아래 포함되는 확률이 차원에 따라 달라진다. 실제 자료에서는 경험적 누적분포로 비교하며 이런 한 지점의 숫자만으로 차원을 확정하지 않는다.
국소성이 항상 충분하지 않은 이유
이웃을 두 개만 사용해도 표본이 희박하면 두 번째 이웃까지의 영역이 곡률이나 밀도 변화를 크게 포함할 수 있다. 잡음과 경계, 거리 동률도 영향을 준다. 자료를 부분 표집해 관측 척도를 바꾸거나 여러 표본에서 추정의 안정성을 확인한다. 주변 좌표의 개수와 유효한 내재 차원은 구분해서 해석한다.
관련 문서
내재 차원의 최대우도 추정 / 최근접 이웃 / 다양체 학습 / 차원 축소 / 누적분포함수 / 최대우도추정