최단강하곡선은 균일한 중력장에서 정지 상태의 입자가 위쪽 지점에서 아래쪽 지점으로 이동할 때 소요 시간을 최소화하는 곡선이다. 두 지점이 수직선상에 있지 않고 마찰이 없는 고전적 문제의 해는 사이클로이드의 일부다. 사이클로이드는 원이 직선 위를 미끄러지지 않고 구를 때 원 둘레의 한 점이 그리는 곡선이다.
거리와 시간
직선은 두 점 사이의 최단 거리지만, 물체가 이동하는 속도는 경로를 따라 일정하지 않다. 초반에 가파르게 내려가는 곡선에서는 위치 에너지가 빠르게 운동 에너지로 바뀐다. 따라서 더 긴 경로를 지나더라도 높은 속도로 이동하는 구간이 길면 직선 경로보다 먼저 도착할 수 있다.
구슬 실험과 적용 범위
대학의 역학 시범 실험에서는 직선, 원호, 사이클로이드 형태의 레일을 비교한다. 출발과 도착 높이가 같은 조건에서도 도착 시간은 다를 수 있다. 에너지 손실을 무시하면 같은 높이에 도달했을 때의 에너지는 같으므로, 먼저 도착했다는 사실이 반드시 최종 속도가 더 크다는 뜻은 아니다.
실제 구슬은 회전하며, 마찰·충돌·레일의 모양과 접촉 조건도 결과에 영향을 준다. 임의로 굴곡이나 거친 표면을 추가하면 언제나 빨라진다는 법칙은 아니다.