높이와 속도의 관계
위쪽을 양의 방향으로 정하고 높이를 h(t)로 나타내면 순간속도는 높이의 순간변화율인 v(t)=h′(t)이다. 속도가 음수라는 것은 높이가 감소하는 아래 방향으로 움직인다는 뜻이다. 방향을 제외한 빠르기인 속력은 |v(t)|로 구한다.
먼저 도달 시각을 구하기
예를 들어 높이 모형이 h(t)=-5t²+3700이고 0≤t≤24일 때, 높이 2575m에 도달하는 시각을 구한다고 하자. 주어진 높이를 식에 대입하면 -5t²+3700=2575이므로 5t²=1125, t²=225이다. 해는 t=±15이지만 시간의 범위에 맞는 값은 t=15초다.
도함수에 시각 대입하기
h′(t)=-10t이므로 v(15)=-10×15=-150m/s이다. 즉 아래 방향으로 150m/s의 속도로 움직이며, 순간속력은 150m/s다. 높이 2575를 시간 변수 자리에 대입하지 않도록 주의한다.
평균속도와의 차이
출발점부터 도달점까지의 높이 변화를 걸린 시간으로 나누면 평균속도다. 이 예에서는 (2575-3700)/15=-75m/s가 되어, 도달 순간의 속도 -150m/s와 다르다. 계산에는 문제에서 준 높이 모형을 그대로 사용한다.
출처
순간속도와 도함수, 속력의 관계는 OpenStax University Physics 1, 3.2 Instantaneous Velocity and Speed를 참고한다. 수치 계산은 제시한 함수에 직접 적용한 예제다.