입력에 적용된 순서
h(x)=f(mx+n)은 먼저 x를 mx+n으로 바꾼 뒤 f를 적용하는 함수다. 역함수는 출력에서 원래 입력을 되찾으므로 먼저 f의 역함수 g를 적용하고, 그다음 n을 빼고 m으로 나눈다.
식을 이용한 유도
y=f(mx+n)의 양변에 g를 적용하면 g(y)=mx+n이다. 따라서 x=(g(y)-n)/m이고, 입력 문자를 다시 x로 쓰면 h⁻¹(x)=(g(x)-n)/m이다. f가 역함수를 갖는 정의역과 치역에서 해석하며, m=0이면 이 방식으로 나눌 수 없다.
검산과 예시
f(3x+1)의 역함수는 (g(x)-1)/3이다. 이를 a·g(x)+b로 표시하면 a=1/3, b=-1/3이므로 ab=-1/9이다. 검산하면 ((g(f(3x+1))-1)/3)=x이고, 반대 방향으로도 f(3(g(x)-1)/3+1)=f(g(x))=x가 된다. g(y)=3x+1에서 멈추면 원래 x를 아직 구하지 않은 것이다.
출처
- OpenStax Precalculus 2e: Inverse Functions — 역함수의 개념과 역연산 순서. 위 일반식과 계산 예시는 그 정의를 적용한 유도이다.