강인 제어 불변 집합

수량자의 순서

이산 시간 모델에서 조건은 모든 x∈C에 대해 어떤 u∈U가 존재해 모든 w∈W에 대한 다음 상태가 C에 속한다는 것이다. 입력은 현재 상태에 맞춰 바꿀 수 있지만 아직 모르는 외란의 실현값을 미리 보고 골라서는 안 된다. 하나의 고정 입력이 모든 상태에 통하도록 요구하는 조건이나, 외란을 안 뒤 입력을 고르는 조건과는 다르다.

한 변수의 계산 예제

x 다음=1.2x+u+w, |u|≤0.4, |w|≤0.1을 생각하자. C=[−1,1]에서 u=−0.4x를 사용하면 입력 한계를 만족하고 다음 상태는 0.8x+w다. 따라서 |x 다음|≤0.8+0.1=0.9로 항상 C 안에 있다. 이 피드백은 C가 강인 제어 불변 집합이라는 하나의 증거가 된다.

외란을 빼고 판단하면 생기는 차이

같은 시스템에서 u=−0.2x를 쓰면 외란이 없을 때 다음 상태는 x라서 구간 안에 머문다. 그러나 x=1에서 w=0.1이 들어오면 다음 상태는 1.1로 나간다. 외란 없는 모델의 불변성을 확인한 것만으로 강인 불변성을 얻을 수 없다. 반대로 불변성은 상태가 목표 원점으로 수렴한다는 주장과도 다르다.

최대 집합과 근사

상태 제약 X 안의 가장 큰 강인 제어 불변 부분집합을 구하면 지속적으로 제약을 지킬 수 있는 범위를 분석할 수 있다. 목표 집합으로 한 단계 안에 보낼 수 있는 상태를 역으로 계산하는 집합 연산이 사용된다. 유한 횟수 반복으로 얻은 바깥 근사가 그 자체로 불변이라는 보장은 없으므로, 계산 결과의 포함 관계와 불변성 보장을 구별한다.