누적확률로 나타내기
오른쪽으로 긴 꼬리를 가진 형태에서 z=(x−μ)/β, β>0으로 두면 누적분포함수는 F(x)=exp(−exp(−z))다. 밀도는 exp(−z−exp(−z))/β이며 x는 실수 전체에서 값을 가질 수 있다. 위치 모수 μ가 곧 평균이나 중앙값이라는 뜻은 아니다. 척도는 분포를 늘리는 양이고 반드시 양수여야 한다.
위치와 중앙값의 차이
x=μ를 누적분포함수에 넣으면 F(μ)=exp(−1)로 약 0.368이다. 따라서 μ 아래의 확률은 절반이 아니다. 중앙값은 F(x)=1/2를 풀어 μ−β ln(ln2)로 얻으며 약 μ+0.367β다. 예를 들어 μ=10, β=2이면 중앙값은 약 10.733이다. 같은 위치에서 척도를 늘리면 중앙값도 이 식에 따라 달라진다.
분위수를 구하는 방식
0<p<1에서 누적확률 p에 대응하는 분위수는 μ−β ln(−ln p)다. p가 1에 가까워질수록 분위수는 커진다. 이는 관측값 하나가 그 분위수보다 클 확률이 모형상 1−p라는 의미다. 해당 크기의 값이 일정 횟수마다 반드시 한 번 생긴다거나, 적합한 모형 자체가 정확할 확률을 뜻하지 않는다.
극값 모형의 적용 조건
극값과 관련된 분포라고 해서 어떤 자료의 최댓값에도 자동으로 들어맞는 것은 아니다. 표본을 나눈 방식과 관측 사이 의존성, 꼬리의 성질을 고려해야 한다. 최댓값 형태를 부호 반전하면 최솟값 방향의 다른 형태가 되므로 어느 규약인지 확인한다. 특히 드문 관측 범위 밖으로 추정할 때는 모수 추정의 불확실성과 분포 선택의 영향을 함께 검토한다.