자리 바꾸기
실수에서 6+9와 9+6은 같은 결과를 낸다. 이때 바뀌는 것은 두 수의 순서다. 교환법칙은 어떤 특정한 두 수에서 우연히 값이 같다는 말이 아니라 정해진 대상 전체에서 그 연산이 순서 교환을 허용한다는 성질이다.
성립하지 않는 연산
9-6과 6-9는 결과가 다르다. 나눗셈도 순서를 바꾸면 일반적으로 결과가 달라진다. 익숙한 덧셈과 곱셈의 성질을 다른 연산에 그대로 적용해서는 안 된다.
수 밖의 대상
행렬도 더하거나 곱할 수 있지만 실수와 모든 성질이 같지는 않다. 같은 크기의 행렬 덧셈은 교환 가능하지만 행렬 곱셈은 일반적으로 순서를 바꿀 수 없다. 연산의 이름이 곱셈이라는 이유만으로 교환법칙을 가정해서는 안 된다.
다른 법칙과의 관계
결합법칙은 세 대상 이상의 연산에서 묶는 방법에 관한 성질이다. 교환법칙은 두 대상의 순서에 관한 성질이므로 하나가 성립한다고 다른 하나도 자동으로 따라오지는 않는다. 식을 변형할 때 어떤 법칙을 썼는지 구분하면 계산의 근거가 분명해진다.