결과에서 숫자로
동전 두 번의 결과를 순서쌍으로 나타내고 X를 앞면의 개수로 정의하자. (앞,뒤)와 (뒤,앞)은 서로 다른 결과지만 모두 X=1이 된다. 하나의 숫자에 여러 원래 결과가 대응할 수 있다.
분포가 생기는 방식
공정한 동전을 독립적으로 두 번 던지면 X=0과 X=2의 확률은 각각 1/4이고 X=1의 확률은 1/2다. 가능한 값이 0, 1, 2 세 개라고 각 확률이 1/3이 되는 것은 아니다. 각 값으로 모이는 원래 결과와 그 확률을 살펴야 한다.
이산과 연속
앞면 개수처럼 유한하거나 셀 수 있는 값에 확률이 모이는 경우는 이산형으로 다룬다. 길이나 시간 등을 연속형 모형으로 나타낼 때는 구간의 확률을 밀도로 계산할 수 있다. 모든 확률변수가 이 두 가지 단순한 형태 중 하나만 갖는 것은 아니다.
관측값과 구별
X는 결과를 숫자로 바꾸는 규칙이고, 한 번 실험해서 얻은 x는 그 관측값이다. 기댓값은 분포를 이용해 계산하는 평균적 특성이며 실제 가능한 값과 다를 수 있다. 공정한 주사위 눈의 기댓값 3.5가 실제 눈으로 나오지 않는 것이 한 예다.