상자 세기 차원

작은 격자로 덮어 세기

유계 집합 위에 한 변 길이가 ε인 격자를 놓고 집합과 만나는 상자를 센다. N(ε)가 대략 ε⁻ᵈ처럼 증가하면 로그 그래프의 기울기에서 d를 읽을 수 있다. 정확한 차원은 ε가 0으로 가는 극한으로 정의하며 그 극한이 없으면 상극한과 하극한의 차원을 구분한다.

선분과 정사각형의 예제

길이 1인 선분을 절반 크기의 구간으로 세면 필요한 수는 대략 두 배가 된다. 단위 정사각형을 같은 방식으로 세면 한 변의 분할 수가 두 배이므로 상자는 대략 네 배가 된다. 따라서 log(2)/log(2)=1, log(4)/log(2)=2라는 차이를 얻는다. 경계 상자의 처리 차이는 이 극한의 지수와 구분한다.

유한 점과 유한 해상도

서로 다른 유한 개 점은 상자를 충분히 작게 하면 각 점을 따로 담을 수 있고 상자 수가 더 늘지 않는다. 따라서 유한 점 집합 자체의 상자 세기 차원은 0이다. 컴퓨터의 유한 표본으로 양의 기울기를 측정하는 일은 그 표본이 나타내는 구조의 중간 척도 추정이지 유한 집합의 수학적 차원을 바꾸는 것이 아니다.

이미지에서의 측정 범위

픽셀보다 작은 척도나 영상 전체에 가까운 척도는 원래 구조의 성장률을 제대로 보여 주지 못할 수 있다. 전경을 정하는 문턱과 격자의 위치도 유한 해상도 계산에 영향을 준다. 여러 척도의 안정적인 구간을 확인하며 상자 세기 차원을 하우스도르프 차원이나 확률 측도의 차원과 무조건 같다고 보지 않는다.