우물 안과 밖
0<x<L에서는 퍼텐셜을 0으로 두고 밖에서는 무한대로 둔다. 입자는 안에서 힘을 받지 않지만 경계조건이 전체 상태를 제한한다. 이는 유한 높이 장벽과 달리 밖에서 입자를 찾을 확률이나 장벽 투과를 허용하지 않는 이상화다.
정상파 조건
정규화된 공간 파동함수는 ψₙ(x)=√(2/L)sin(nπx/L)다. 양끝에서 0이라는 조건 때문에 파장이 연속적으로 아무 값이나 될 수 없다. n=0은 파동함수가 전체에서 0이 되어 정규화할 수 없으므로 허용 상태가 아니다.
에너지 간격
에너지는 n²에 비례하므로 E₂=4E₁이고 E₃=9E₁이다. 따라서 첫 두 에너지 차는 3E₁, 그다음 차는 5E₁로 등간격이 아니다. 같은 입자에서 상자의 길이를 두 배로 하면 각 Eₙ은 네분의 일로 줄어든다.
정상상태와 위치
정상상태의 확률밀도는 시간에 따라 변하지 않지만 입자가 상자 안의 한 지점에 정지해 있다는 뜻은 아니다. 바닥상태에서도 위치 분포가 퍼져 있고 에너지는 0보다 크다. 고전적인 공의 왕복 궤적을 파동함수 그림과 동일시해서는 안 된다.
관련 문서
슈뢰딩거 방정식 / 파동함수 / 에너지 / 파장 / 물질파 / 불확정성 원리 / 양자 터널링 / 양자 조화진동자