번호가 커질 때
aₙ=1/n은 n이 커질수록 0에 가까워진다. 항이 실제로 0이 되지 않아도 극한은 0일 수 있다. 처음 몇 개의 항보다 충분히 뒤에서 어떤 상태가 지속되는지가 중요하다.
오차로 나타내기
모든 ε>0에 대해 어떤 자연수 N이 있어서 n≥N이면 |aₙ−L|<ε가 성립하면 aₙ은 L에 수렴한다. N은 ε에 따라 달라질 수 있다. 한 가지 오차 범위에 들어가는 것만으로 충분하지 않다.
진동하는 수열
aₙ=(−1)ⁿ은 1과 −1을 번갈아 가지므로 하나의 실수에 수렴하지 않는다. 값이 일정한 범위 안에 있다는 사실만으로 수렴이 보장되지는 않는다.
앞부분의 변화
수열의 유한 개 항을 바꾸어도 뒤의 항들이 같으면 극한은 변하지 않는다. 1/n 수열의 첫 열 항을 다른 값으로 바꾸더라도 충분히 뒤에서는 같은 조건을 만족하므로 극한은 여전히 0이다.