점과 기울기로 만드는 곡선
각 구간의 기울기를 δ_i=(y_(i+1)−y_i)/(x_(i+1)−x_i)라고 하자. 아키마 보간은 주변 δ의 변화 정도를 이용해 점 x_i에서의 도함수 d_i를 정한다. 각 구간은 양 끝 값과 양 끝 기울기에 맞는 3차식으로 연결된다. 단순 선형 보간에서는 절점에서 기울기가 바뀔 수 있지만 여기서는 이웃 구간이 같은 절점 기울기를 공유한다.
국소 기울기 계산의 예
내부 점에서 w₁=|δ_(i+1)−δ_i|,w₂=|δ_(i−1)−δ_(i−2)|로 두고 합이 양수이면 d_i=(w₁δ_(i−1)+w₂δ_i)/(w₁+w₂)다. 예를 들어 x가 0,1,2,3,4이고 y가 0,1,3,7,14이면 구간 기울기는 1,2,4,7이다. x=2에서는 w₁=3,w₂=1이므로 d=5/2다. 이는 가운데 두 기울기의 단순 평균 3과 다르다.
보간과 평활화의 차이
보간 곡선은 입력 점을 그대로 통과하므로 관측 잡음을 자동으로 제거하지 않는다. 점이 잘못 측정되었다면 매끄럽게 연결해도 오차가 남는다. 함수와 1차 도함수가 연속이라는 조건이 2차 도함수까지 연속임을 뜻하지도 않는다. 단조성을 반드시 보존하거나 모든 구간에서 입력 범위를 넘지 않는다고 가정하지 않고, 모양 보존이 필요하면 그 조건을 따로 검토한다.
변형과 구간 밖의 계산
수정 아키마 방식인 makima는 가중치에 이웃 기울기 합의 절댓값 항을 추가하는 변형이다. 원래 방식과 결과가 같다고 가정하지 않는다. 원래 식에서 두 가중치가 모두 0인 경우와 양 끝 절점에는 별도의 처리 규칙이 필요하다. 또한 데이터 구간 안을 잇는 보간과 구간 밖 값을 추정하는 외삽은 다르다. 외삽 허용 여부는 곡선의 연속성과 별도로 결정한다.