부드러움과 형태를 함께 고려하기
주어진 값이 증가하다 평평해지면 보간 곡선도 그 특성을 반영하도록 접선 기울기를 정한다. 데이터 사이에서 불필요하게 위로 솟거나 아래로 꺼지는 진동을 줄이는 것이 중요하다. 삼차식이라는 이유만으로 모든 보간 방법이 같은 곡선을 만드는 것은 아니다.
평평한 구간을 연결하는 예제
지점 0, 1, 2에서 값이 각각 0, 2, 2인 경우를 보자. 표준 PCHIP의 기울기는 각각 3, 0, 0이다. 첫 구간의 식은 3x-x³이고 둘째 구간에서는 상수 2다. x=1/2에서 값은 11/8이며 선형 보간값 1과 다르다.
일차와 이차 도함수의 차이
예제의 첫 구간 도함수는 3-3x²이므로 x=1에서 0이다. 둘째 구간도 기울기가 0이라 접선이 연결된다. 하지만 첫 구간의 이차 도함수는 -6x여서 왼쪽에서 -6, 오른쪽 상수 구간에서는 0이다. 일차 연속이 이차 연속까지 뜻하지는 않는다.
관측값 밖의 정답을 보장하지 않는다
형태를 보존하는 것은 입력 데이터의 성질을 따른다는 뜻이다. 실제 함수가 관측점 사이에서 진동하는데 데이터에 드러나지 않았다면 이를 알아낼 수는 없다. 또한 입력 범위 밖의 외삽 결과에 보간 구간 내부의 형태 보존 성질을 그대로 적용하면 안 된다.