세 종류의 평균 거리
독립적으로 뽑은 X와 X′가 한 분포를, Y와 Y′가 다른 분포를 따른다고 하자. 1차원에서는 2E|X-Y|에서 E|X-X′|와 E|Y-Y′|를 뺀 뒤 제곱근을 취한다. 서로 다른 분포 사이의 거리만 보는 것이 아니라 각 분포 자체의 퍼짐도 빼는 구조다.
한 점에 모인 분포의 예
첫 분포가 위치 0에, 둘째가 위치 8에 질량 전부를 두면 각 분포 내부의 차이는 항상 0이다. 분포 사이의 차이는 항상 8이므로 에너지 거리는 16의 제곱근인 4가 된다. 같은 예의 1차 바서슈타인 거리는 8로, 두 지표는 같은 숫자를 주지 않는다.
누적분포함수로 나타내기
1차원에서는 두 누적분포함수 차이를 제곱해 실수 전체에서 적분하고, 그 값의 두 배에 제곱근을 취한 형태로도 나타낼 수 있다. 차이의 절댓값을 적분하는 1차 바서슈타인 거리와는 누적 차이를 합치는 규칙이 다르다.
제곱과 단위의 관계
SciPy의 energy_distance는 제곱근을 취한 정의를 반환한다. 같은 이름으로 제곱값을 보고하는 문헌과 결과를 비교하려면 변환이 필요하다. 좌표를 양수 a배 하면 제곱근을 취한 값은 a의 제곱근 배가 되므로 원래 좌표 차이와 동일한 배율로 커진다고 생각해서는 안 된다.