원자 노름 잡음 제거

관측을 그대로 맞추지 않기

대표 문제는 (1/2)||y−x||₂²+τ||x||𝒜를 최소화한다. 첫 항은 관측과 멀어지는 비용이고 둘째 항은 원자 집합이 정한 복잡도 비용이다. 잡음이 있는 관측을 정확히 복제하도록 강제하지 않으며 τ를 바꾸면 두 비용의 절충점도 바뀐다.

좌표 원자의 계산 예제

원자 노름이 L1 노름인 경우 y=(3,0.2,−1), τ=0.5의 해는 (2.5,0,−0.5)다. 각 좌표에서 절댓값을 0.5 줄이되 문턱 아래는 0으로 만든다. τ=0이면 관측 자체가 해이고 τ를 충분히 크게 하면 0이 된다. 이 좌표별 공식은 선택한 원자 집합에 의존한다.

연속 주파수에서의 의미

복소 지수 파형을 원자로 택하면 미리 정한 주파수 격자 없이 소수의 주파수 성분으로 신호를 설명하는 비용을 사용한다. 이때 잡음 제거 결과는 단순히 시간 표본마다 소프트 임계화를 한 값이 아니다. 신호 전체의 원자 구조가 연결돼 있으며 반정정부호 계획을 이용하는 정식화가 가능하다.

잡음 세기와 해석

τ는 잡음이 원자 방향과 얼마나 크게 상관될 수 있는지에 맞춰 정할 수 있다. 값이 너무 작으면 잡음까지 남기고 너무 크면 신호 성분도 줄인다. 평균제곱 오차가 작다는 주장과 각 주파수 위치를 정확히 찾았다는 주장은 구분해야 한다. 유한한 관측과 잡음 아래에서 모든 성분의 완벽한 분리를 보장하지는 않는다.