이산 푸리에 변환

유한 수열의 표현을 바꾼다

길이가 N인 입력에 대해 X[k] = Σ x[n]exp(-j2πkn/N)으로 정의하는 관례를 많이 쓴다. 합의 범위와 k는 각각 0부터 N-1까지다. 역변환에 1/N을 붙이는 이 관례 외에도 정규화 방식이 있으므로 숫자를 비교할 때 정의를 맞춘다.

4개 값으로 직접 계산한다

입력이 [1, 0, -1, 0]이면 위 정의의 DFT는 [0, 2, 0, 2]다. 전체 합이 0이므로 직류 성분도 0이다. 두 번째와 네 번째 값은 서로 짝인 주파수 성분에 해당한다. 실수 입력에서는 양수와 음수 주파수 쌍의 복소 켤레 대칭이 나타난다.

빈 번호를 주파수로 바꾼다

샘플링 속도가 fs이면 빈 사이의 간격은 fs/N이다. k가 나타내는 주파수는 주기성을 고려해 해석하며 뒤쪽 빈들은 음수 주파수로 표시할 수 있다. 예를 들어 fs가 400 Hz이고 N이 4라면 앞의 예에서 k=1과 k=3은 각각 100 Hz와 -100 Hz로 해석할 수 있다.

0을 붙였을 때

길이 100의 실제 데이터 뒤에 0을 붙여 길이 400으로 계산하면 표시되는 주파수 격자는 네 배 촘촘해진다. 하지만 새로운 실제 관측값 300개를 얻은 것은 아니다. 더 긴 시간을 측정한 것과 혼동하지 않으며 누설과 가까운 성분의 분리 문제도 따로 검토한다.