값과 입력을 구별
f(x)=(x−2)²+3은 실수 전체에서 x=2일 때 최솟값 3을 갖는다. 최솟값은 3이고, 그 값을 만드는 입력은 2다. 둘을 같은 답으로 혼동하지 않아야 한다.
범위를 바꾸면 달라진다
f(x)=x²의 실수 전체에서 최솟값은 0이고 최댓값은 없다. 정의역을 [1,3]으로 제한하면 최솟값은 1, 최댓값은 9다. 같은 식이라도 입력 범위가 달라지면 최적의 값과 위치가 바뀐다.
가까워지지만 닿지 않는 경우
f(x)=x를 열린구간 (0,1)에서 보면 함수값은 1에 얼마든지 가까워질 수 있지만 1이 되지 않는다. 따라서 최댓값은 없다. 0에도 마찬가지로 닿지 않아 최솟값이 없다. 경계로 가까워지는 수와 실제 달성하는 극값을 구별한다.
국소적인 극값과 구분
극대와 극소는 한 점 주변에서만 비교하는 개념이다. 주변에서 가장 높아 보여도 정의역의 다른 곳에 더 큰 함수값이 있을 수 있다. 전체 최댓값을 구하려면 내부 후보뿐 아니라 정의역의 끝점과 전체 범위를 함께 살펴야 한다.