소수의 거듭제곱 구별
8=2³이므로 Λ(8)=ln 2다. 9=3²에서는 ln 3이고 소수 5에서는 ln 5다. 반면 12=2²×3처럼 서로 다른 소인수가 함께 있는 수에서는 0이다. 지수 k를 로그 앞에 곱하지 않으므로 Λ(8)을 ln 8로 계산하면 안 된다.
1과 기호의 주의점
거듭제곱 지수 k는 양의 정수이므로 1은 이 정의의 소수 거듭제곱에 포함하지 않는다. 따라서 Λ(1)=0이다. 대문자 Λ를 쓰는 이 함수와 소인수 개수의 홀짝으로 정의하는 리우빌 함수 λ는 서로 다르며, 대소문자를 구분해 읽어야 한다.
약수 합에서 로그 복원
n의 모든 양의 약수 d에 대해 Λ(d)를 더하면 ln n이다. 예를 들어 12의 약수 중 0이 아닌 값을 주는 것은 2, 3, 4다. 그 합은 ln 2+ln 3+ln 2=ln 12다. 소인수분해의 지수가 같은 소수의 거듭제곱 약수 개수로 반영된다.
뫼비우스 반전으로 표현
약수 합이 ln n이라는 관계에 뫼비우스 반전 공식을 적용하면 Λ(n)=Σ₍d|n₎μ(n/d)ln d를 얻는다. 이 식은 단순히 소수인지 판별하는 함수를 뜻하지 않는다. 폰 망골트 함수는 소수와 그 거듭제곱을 밑 소수의 로그로 가중하여 다루는 함수다.
관련 문서
소수 / 소인수분해 / 자연로그 / 약수 / 뫼비우스 반전 공식 / 리우빌 함수