할턴 수열

정수의 자리수를 소수점 뒤로

밑 b로 나타낸 정수의 자리수를 소수점 뒤로 순서대로 뒤집어 놓는 연산을 생각하자. 가장 낮은 자리의 계수가 소수점 첫 자리에 오고 다음 자리의 계수가 둘째 자리에 온다. 이 자리수 역전 값을 서로 다른 소수 밑으로 계산하면 한 정수 번호에서 여러 좌표를 만들 수 있다. 같은 번호를 쓰더라도 좌표마다 밑이 다르다는 점이 핵심이다.

번호 5에서 두 좌표 만들기

정수 5는 이진수로 101이다. 자리수를 소수점 뒤로 옮기면 0.101₂=1/2+1/8=5/8이다. 삼진수로는 12이므로 낮은 자리부터 배치한 0.21₃=2/3+1/9=7/9가 된다. 따라서 첫 두 밑을 2와 3으로 정한 비스크램블 구성에서 번호 5의 점은 (5/8,7/9)다. 번호를 0부터 시작하는지 여부는 표본을 비교할 때 따로 확인해야 한다.

독립 난수와 다른 점

기본 수열은 정해진 규칙으로 생성되므로 독립 균등 난수들을 뽑는 과정과 다르다. 공간에 고르게 퍼지는 성질을 활용하지만 모든 함수에서 같은 적분 오차를 보장하지는 않는다. 특히 여러 좌표를 함께 보면 줄무늬 같은 규칙적 구조가 나타날 수 있다. 각 좌표의 분포만 확인하는 것으로 다차원 배치의 품질을 충분히 판단하기 어렵다.

스크램블과 반복 평가

자리수 배치를 무작위화하는 스크램블은 규칙적 구조를 완화하고 여러 독립적인 무작위화 결과를 비교하는 데 쓰인다. 재현하려면 생성 조건과 난수 상태를 함께 정해야 한다. 이미 사용한 수열을 이어 가는 것과 처음부터 다시 시작하는 것도 구분한다. 초기화한 동일 수열을 반복 사용하면 새로운 표본을 추가했다고 생각해도 같은 점들을 중복해서 계산할 수 있다.