결합과 변환의 순서
두 이동량을 더한 뒤 변환하는 것과 각각의 이동량을 변환한 다음 더하는 결과가 같아야 한다. 크기를 일정한 배수로 늘리는 연산과의 순서도 바꿀 수 있어야 한다. 이 두 조건이 선형성의 기본 내용이다.
회전과 평행 이동
원점을 중심으로 평면을 회전시키는 변환이나 한 좌표 성분을 일정한 비율로 늘리는 변환은 선형 변환의 예다. 반면 모든 점에 같은 0이 아닌 벡터를 더하는 평행 이동은 원점을 옮기므로 선형 변환이 아니다. 선형 변환은 반드시 영벡터를 영벡터로 보낸다.
행렬로 나타내기
유한 차원 벡터 공간에서 출발 공간과 도착 공간의 기저를 정하면 선형 변환을 행렬로 나타낼 수 있다. 같은 변환도 어떤 기저를 선택했는지에 따라 행렬의 숫자가 달라질 수 있다. 변환 자체와 선택한 좌표 표현을 구분해야 한다.
정보가 사라지는 경우
평면의 점을 가로축으로 내리는 사영은 선형이지만 세로 방향의 정보를 잃는다. 서로 다른 입력이 같은 결과로 갈 수 있으므로 모든 선형 변환에 역변환이 있는 것은 아니다. 단사성과 전사성을 확인하면 입력을 유일하게 복원할 수 있는지 판단할 수 있다.