답 대신 입력을 살펴보기
Ax=b의 근사 해를 x̂라고 하자. A는 고정하고 b만 바꾼다면 Ax̂=b+δb를 만족시키는 변화는 δb=Ax̂-b다. 잔차를 r=b-Ax̂로 정의했을 때 δb=-r이다. 따라서 이 설정에서 절대 후방 오차의 크기는 잔차의 노름과 같다.
입력의 작은 변화가 큰 답의 차이가 될 수 있다
A를 대각 원소가 1과 1/10000인 행렬, b를 (1,1/10000)으로 두자. 정확한 해는 (1,1)이다. 계산한 결과를 (1,2)라고 하면 이 결과가 정확한 해가 되는 우변은 (1,2/10000)이다. 원래 우변에서 둘째 성분만 1/10000 늘어나면 된다.
전방 오차와 비교하기
예제의 우변 변화의 2-노름은 1/10000이고 원래 우변의 노름은 거의 1이다. 반면 해의 변화는 (0,1)이므로 상대 전방 오차는 1/√2다. 작은 상대 후방 오차가 작은 상대 전방 오차를 항상 보장하지 않는다는 것을 보여 준다.
조건수와 함께 읽기
계산이 가까운 문제를 정확히 풀었다고 해도 그 문제가 입력에 민감하면 답은 크게 달라질 수 있다. 예제의 행렬은 2-노름 조건수가 10000이다. A까지 바꿀 수 있게 허용하거나 원소별 상대 변화를 재면 후방 오차의 정의와 값도 달라질 수 있으므로 같은 조건에서 비교해야 한다.