희소 점원의 초해상도 복원

화면 확대와 다른 목표

여기서는 흐릿한 이미지를 큰 픽셀 배열로 보간하는 것보다 좁은 문제를 다룬다. 대상이 몇 개의 이상적인 점원으로 표현된다고 가정하고 연속적인 위치를 찾는다. 실제 물체가 이 가정에 맞지 않으면 점원 복원의 성질을 그대로 적용할 수 없다.

같은 평균을 가진 두 배치

원 위의 위치 0과 1/2에 단위 점원 두 개가 있으면 0번째 푸리에 계수는 2이고 1번째 계수는 1+exp(−iπ)=0이다. 위치 0에 세기 2인 점원 하나를 놓으면 0번째 계수는 역시 2지만 1번째는 2다. 평균 하나만 같다고 같은 배치인 것은 아니며 추가 주파수 관측이 둘을 구별한다.

작은 전변동으로 설명하기

서로 다른 위치에 놓인 점원 진폭이 aⱼ라면 측도의 전변동 노름은 Σ|aⱼ|다. 관측한 저주파 계수와 일치하는 측도 가운데 이 비용이 작은 것을 찾는 볼록 정식화가 가능하다. 영상 픽셀 사이 차이를 더하는 전변동과 관련된 이름이지만 최적화하는 대상이 측도라는 점을 구분한다.

정확 복원과 유한 정밀도

이상적인 잡음 없는 모형에서는 점원 사이 간격과 주파수 대역폭 등에 조건을 두어 정확한 위치 복원을 증명할 수 있다. 이 결론은 가까운 점원을 아무 조건 없이 무한히 분리한다는 뜻이 아니다. 잡음이 있거나 관측값이 반올림되면 안정성과 수치 오차를 따로 분석해야 한다. 세부 해상도를 높일수록 오차 증폭도 중요해진다.