지정된 출력 범위
정수 x에 대해 f(x)=2x를 정의하고 공역을 정수 전체로 정할 수 있다. 이때 함수값은 모두 짝수지만 공역에는 홀수도 들어 있다. 공역의 모든 원소가 실제 출력으로 나와야 한다는 조건은 일반적인 함수 정의에는 없다.
같은 식과 다른 공역
f(x)=2x의 정의역을 정수로 고정하더라도 공역을 정수 전체로 정할지 짝수의 집합으로 정할지에 따라 함수의 성질이 달라질 수 있다. 짝수의 집합을 공역으로 하면 모든 공역 원소가 함수값으로 나오므로 전사다.
함수값은 공역 안에 있어야 한다
공역에 도달하지 않는 원소가 있어도 괜찮지만, 정의역의 입력에서 공역 밖의 값이 나오면 지정한 함수가 성립하지 않는다. 예를 들어 f(x)=x²의 정의역을 실수로 두고 공역을 음의 실수로 정하면 값이 공역에 들어가지 않는다.
합성에서 살피는 조건
한 함수의 출력을 다른 함수에 입력하려면 첫 출력들이 다음 함수의 정의역에 들어가야 한다. 공역과 정의역을 맞춰 표기하면 연결 가능성을 분명히 할 수 있다. 실제 치역이 다음 정의역에 포함되는지도 중요한 판단 기준이다.