수를 더하는 예
정수 전체와 덧셈을 함께 생각하면 군의 예가 된다. 두 정수를 더한 결과는 정수이고 덧셈은 결합법칙을 만족한다. 더해도 값을 바꾸지 않는 0이 항등원이며, 각 정수 a에는 더해서 0이 되는 -a라는 역원이 있다.
되돌릴 수 있는 연산
역원은 정해진 연산으로 원소의 효과를 되돌려 항등원으로 만드는 원소다. 정사각형을 중심에서 90도씩 돌리는 회전들을 모으면, 회전을 이어서 적용하는 연산으로 군을 만들 수 있다. 아무것도 돌리지 않는 회전도 항등원으로 포함해야 한다.
순서를 바꿀 수 있을까
군의 정의에는 교환법칙이 반드시 포함되지 않는다. 두 변환을 어느 순서로 하느냐에 따라 결과가 달라지는 군도 있다. 모든 원소 쌍에서 연산 순서를 바꿀 수 있는 경우에는 아벨 군이라고 따로 부른다.
집합만으로 정해지지 않는다
같은 집합이라도 어떤 연산을 주었는지에 따라 구조가 달라진다. 정수의 덧셈과 곱셈은 같은 성질을 갖지 않는다. 정수 전체를 곱셈으로 보면 0의 곱셈 역원이 없고 다른 정수들도 필요한 역원이 정수 안에 없는 경우가 있어 군이 되지 않는다.