변과 각의 조건
변의 길이가 같다는 조건만으로 정사각형이 되는 것은 아니다. 내각이 직각이 아닌 마름모도 가능하기 때문이다. 반대로 네 각이 직각이어도 가로와 세로 길이가 다르면 일반적인 직사각형이 된다. 정사각형에서는 두 조건이 함께 성립한다.
넓이와 둘레
한 변의 길이가 6cm라면 둘레는 24cm이고 넓이는 36cm²다. 둘레는 길이를 더한 값이고 넓이는 면적이므로 단위가 다르다. 한 변을 두 배로 늘리면 둘레는 두 배가 되지만 넓이는 네 배가 된다.
대각선
정사각형의 두 대각선은 길이가 같고 서로 수직이며 각각 상대 대각선을 반으로 나눈다. 한 변의 길이를 a라 하면 대각선의 길이는 a√2다. 피타고라스 정리를 이용하면 두 변이 직각을 이루는 삼각형에서 이 관계를 얻을 수 있다.
도형의 포함 관계
정사각형은 네 각이 직각이므로 직사각형이고 네 변이 같으므로 마름모다. 직사각형이나 마름모와 전혀 별개의 종류로만 나누면 이런 관계를 놓치기 쉽다. 정의의 조건을 만족하는지에 따라 도형 사이의 포함 관계를 판단한다.