나눗셈 식에서 얻기
다항식의 나눗셈으로 f(x)=(x−a)q(x)+r라고 쓸 수 있다. 나누는 식의 차수가 1이므로 나머지는 상수다. 여기에 x=a를 대입하면 곱 부분이 0이 되어 f(a)=r만 남는다.
값을 대입하는 예
f(x)=x³+2x−1을 x−2로 나눌 때 나머지는 f(2)=8+4−1=11이다. 몫을 구하지 않고도 나머지를 알 수 있다. 나누는 식이 x+2라면 x−(−2)로 읽어 f(−2)를 계산해야 한다.
나머지가 0일 때
f(a)=0이면 x−a로 나누어떨어진다. 이 경우 x−a는 f(x)의 인수다. 나머지 정리에서 나머지가 사라지는 특별한 경우가 인수 정리와 연결된다.
적용 범위
f(a)가 나머지라는 형태는 x−a로 나누는 경우의 정리다. 이차식으로 나누면 나머지에 일차항이 남을 수 있으므로 함수값 하나만으로 나머지 전체를 정할 수 없다. 또 2x−4로 나눌 때는 0이 되는 값이 2임을 확인해야 하며 눈에 보이는 상수 4를 그대로 대입하지 않는다.