배열을 변환으로 보기
집합의 원소들을 겹치지 않게 다른 위치로 보내는 전단사 함수가 순열이다. 대칭군에서는 두 순열을 연달아 적용한 합성이 군의 연산이다. 항등순열은 모든 원소를 그대로 두고 역순열은 각 이동을 되돌린다.
세 원소의 대칭군
세 원소에는 항등순열 하나, 두 원소를 맞바꾸는 순열 세 개, 세 원소를 한 바퀴 순환시키는 순열 두 개가 있다. 따라서 S₃의 크기는 6이다. 정삼각형 꼭짓점에 대한 전체 대칭도 이 여섯 순열로 나타낼 수 있다.
합성의 순서
1과 2를 맞바꾸는 변환과 2와 3을 맞바꾸는 변환을 생각하자. 전자를 먼저 적용하면 1은 최종적으로 3으로 가고, 후자를 먼저 적용하면 1은 2로 간다. 따라서 S₃은 가환군이 아니다. 순열을 곱할 때 왼쪽과 오른쪽 중 어느 쪽을 먼저 적용하는지 관례도 확인해야 한다.
순열군과의 관계
순열 몇 개를 모아 합성과 역원에 대해 닫힌 부분군을 만들 수 있지만 그것이 모든 순열을 포함하는 것은 아니다. 대칭군은 해당 집합의 순열을 전부 포함한다. 케일리 정리에 따르면 원소가 n개인 모든 유한군은 Sₙ의 어떤 부분군과 동형으로 나타낼 수 있다.