지수 증가와 바깥 계수
적분 안의 exp(t²)는 양의 t에서 빠르게 증가하지만 정의에는 바깥의 exp(−x²)도 포함된다. 이 두 부분을 함께 계산한 결과가 도슨 적분이다. exp(−t²)를 적분하는 오차함수의 정의와 지수 부호가 다르다. 기호의 비슷한 모양만 보고 동일한 함수를 사용하면 다른 값이 나온다.
미분방정식을 유도한다
곱의 미분과 적분의 기본정리를 적용하면 F′(x)=−2xF(x)+1이다. 따라서 F′+2xF=1과 초기값 F(0)=0으로도 함수를 특징지을 수 있다. 특히 원점의 기울기는 1이다. F가 홀함수라는 성질도 적분 안의 함수가 짝함수이고 바깥 계수 역시 짝함수라는 점에서 확인할 수 있다.
원점 근처의 급수
홀수 차수 급수 F(x)=x+ax³+bx⁵+⋯를 미분방정식에 넣자. x²의 계수를 맞추면 3a+2=0이어서 a=−2/3이고, x⁴에서는 5b+2a=0이므로 b=4/15다. 따라서 처음 세 항은 x−(2/3)x³+(4/15)x⁵다. x=0.1을 넣으면 약 0.099336이다. 이는 유한 항 근사이지 모든 자리의 정확한 함수값이라는 뜻은 아니다.
수치 계산의 구분
큰 x에서 정의의 두 지수 부분을 따로 계산하면 중간값이 지나치게 커지거나 작아질 수 있다. 최종 함수값의 크기와 중간 표현식의 크기는 다르므로 안정적인 전용 계산법을 검토해야 한다. 근사를 사용할 때는 적용 구간과 오차를 확인하고, 미분방정식이나 홀함수 관계 같은 독립적인 성질을 이용해 계산 결과를 점검할 수 있다.