항과 합의 차이
수열은 a₁,a₂,…라는 항들의 나열이고 급수는 그 항들을 더하는 형태다. aₙ이 0에 가까워지는 문제와 Sₙ이 일정한 값에 가까워지는 문제는 서로 다르다.
부분합으로 정의하기
1/2+1/4+1/8+…의 첫 n항의 합은 1−1/2ⁿ이다. 이 부분합이 1에 수렴하므로 무한급수의 합을 1로 정한다. 무한히 많은 항을 한 번에 일반적인 덧셈처럼 처리하는 것이 아니라 극한으로 정의한다.
필요조건
급수가 수렴하면 일반항 aₙ은 0에 수렴해야 한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 조화급수는 항 1/n이 0으로 가는데도 부분합은 한없이 커진다.
유한합과 무한합
유한한 수의 항을 더할 때의 규칙을 무한급수에 무조건 옮길 수는 없다. 수렴 여부와 어떤 순서로 더하는지에 관한 조건을 먼저 확인해야 한다.