곱이 n인 인수쌍
약수 d를 선택하면 n/d도 양의 정수이고 두 수의 곱은 n이다. 따라서 합성곱은 곱이 n인 모든 순서 있는 인수쌍에서 f와 g를 평가해 곱하고 더하는 방식이다. 예를 들어 n=6이면 (1,6), (2,3), (3,2), (6,1)의 네 쌍이 등장한다.
상수 함수와 약수 개수
모든 양의 정수에서 값이 1인 함수를 u라고 하면 (u∗u)(n)은 n의 약수 개수다. 각 약수가 합에 1을 하나씩 보태기 때문이다. n=6에서는 결과가 4이고 점별 곱 u(6)u(6)=1과 다르다. 같은 곱 기호처럼 보여도 사용하는 연산을 확인해야 한다.
항등원과 역원
ε(1)=1이고 n>1에서 ε(n)=0인 함수는 디리클레 합성곱의 항등원이다. 복소수 값을 갖는 수론적 함수에서는 f(1)≠0이면 합성곱에 대한 역원이 존재한다. 이 역원은 일반적으로 각 위치의 값을 단순히 1/f(n)으로 바꾼 함수가 아니다.
뫼비우스 반전과의 연결
상수 함수 u와 뫼비우스 함수 μ의 합성곱은 ε다. 따라서 g=u∗f처럼 약수 합으로 주어진 관계에 μ를 합성곱하면 원래 f를 복원한다. 복소수 값 함수의 이 연산은 교환법칙과 결합법칙을 만족하며, 곱셈적 함수들끼리의 합성곱도 곱셈적이다.
관련 문서
곱셈적 함수 / 뫼비우스 함수 / 뫼비우스 반전 공식 / 약수 / 약수의 개수 / 상수 함수