역함수의 가지
실수 함수 g(w)=w exp(w)의 도함수는 exp(w)(1+w)다. w=−1에서 최솟값 −1/e를 갖고 그 양쪽에서 단조 방향이 다르다. 따라서 −1/e<z<0인 입력에는 두 실수 역상이 있다. 주가지 W_0는 −1 이상인 해를, W_−1은 −1 이하인 해를 나타낸다. z>0의 실수 해는 하나이며 복소수 가지들은 별도로 존재한다.
정의에 직접 대입하기
w=2를 넣으면 w exp(w)=2e²이므로 W_0(2e²)=2다. w=0에서는 입력이 0이어서 W_0(0)=0이다. 입력 −1/e에서는 두 실수 가지가 w=−1로 만난다. 같은 기호 W만 적고 가지를 지정하지 않으면 음의 입력 구간에서 어느 해를 말하는지 모호해질 수 있다.
로그와 지수가 섞인 방정식
x>0에서 x+lnx=3을 풀어 보자. 양변에서 x를 옮기면 lnx=3−x이고, 지수화를 거쳐 x exp(x)=e³을 얻는다. 따라서 해는 W_0(e³)다. 처음의 양수 조건과 변환 과정이 양립하는지 확인해야 하며, 식을 W 형태로 바꿀 수 있다는 사실만으로 모든 문제의 실수 해가 한 개라고 일반화할 수는 없다.
미분과 분기점 주변
정의식을 미분하면 exp(W)(1+W)W′=1이므로 W≠−1에서 W′=exp(−W)/(1+W)다. 분기점에서 분모가 0에 접근하므로 입력의 작은 차이가 출력에 크게 반영될 수 있다. 수치 계산에서는 원하는 가지와 원래 방정식의 잔차를 함께 확인한다. 오차가 작은 방정식 잔차와 원하는 가지의 선택이 같은 검증이라는 뜻은 아니다.