평균에서 순간으로
평균변화율은 두 입력 사이의 변화량 비다. 미분계수는 그 두 입력을 한 점에 가까이 모으며 얻는 극한이다. 한 점에서 분모가 0이 되는 나눗셈을 직접 하는 것이 아니라 주변의 변화량 비가 다가가는 값을 찾는다.
x²의 예
f(x)=x²에서 차분몫은 ((a+h)²−a²)/h=2a+h다. h≠0일 때 정리한 뒤 h를 0으로 보내면 2a다. 따라서 x=3에서 미분계수는 6이다.
미분할 수 없는 점
f(x)=|x|는 0에서 왼쪽 차분몫이 −1, 오른쪽 차분몫이 1로 향해 일치하지 않는다. 따라서 0에서 미분계수가 없다. 함수값이 잘 정의되어 있고 연속이어도 미분계수가 항상 존재하는 것은 아니다.
도함수와 구분
미분계수 f′(a)는 특정 점 a에서의 값이다. 미분 가능한 각 점 x에 그 값을 대응시킨 함수가 도함수 f′다. 도함수를 먼저 구한 뒤 a를 넣을 수도 있지만, 한 점의 수치와 전체 함수는 구별한다.